School

Идеално твърдо тяло - модел, който представя твърдите тела като множество от материални точки, неспособни на деформация

Инерчен момент ($I,[\text{kg}\cdot \text{m²}]$) - мярка за инертността на тялото при завъртане около определена ос. За система материални точки

$$I\stackrel{\text{def}}{=}\sum _i{m}_i{r}_i^2$$ $r_i$ - разстояние до оста на въртене (в 3D не съвпада с радиус-вектора)

а) връзка с момента на импулса

$$L=I\omega$$ Доказателство:

За една материална точка линейната скорост може да се изрази като $v=\omega r$. Моментът на импулса ѝ е $L=mvr=m{r}^2\omega$. За цялата система $$L=\sum _i{L}_i=\sum _i{m}_i{r}_i^2\omega$$

б) втори принцип на механиката за въртеливи движения

$$\tau =I\epsilon$$ Доказателство: $$\tau =\frac{dL}{dt}=I\frac{d\omega }{dt}=I\epsilon$$

в) теорема на Щайнер - връзка между инерчния момент около ос през центъра на масите и този около ос, перпендикулярна на нея

Доказателство

Инерчен момент на идеално твърдо тяло - тялото се разглежда като система от безбройно много материални точки и инерчният момент се изразява с интеграл

$$I=\int dm{r}^2$$

а) пръчка - с маса $M$ и дължина $L$

• около центъра на масите на пръчката: $I=\frac{1}{12}M{L}^2$
• около единия край на пръчката: $I=\frac{1}{3}M{L}^2$

б) диск - с маса $M$ и радиус $R$

• около центъра на масите: $I=\frac{1}{2}M{R}^2$

в) сфера - с маса $M$ и радиус $R$

• куха сфера (около центъра на масите): $I=\frac{2}{3}M{R}^2$
• плътно кълбо (около центъра на масите): $I=\frac{2}{5}M{R}^2$